Las naranjas de Kepler

“… 6 de la mañana, suena el despertador. Abro la ventana y selecciono tres naranjas. El ruido del exprimidor indica que comienza el día…”

Con el auge de las fruterías en nuestras calles y más ahora que acabamos de entrar en el invierno los fruteros se enfrentan a la importante tarea de apilar naranjas. Para ahorrar espacio, el frutero intenta colocar tantas naranjas como sea posible en el mínimo espacio. ¿Cuál es la manera más compacta de ordenar naranjas? Y quién dice naranjas dice manzanas, melocotones, canicas y esferas en general.

piles

Para calcular la densidad de naranjas simplemente hay que calcular el porcentaje del volumen que ocupan las naranjas con respecto al volumen vacío. Si seguimos la estrategia más simple, que es la de colocar las esferas completamente al azar, obtendremos una máxima densidad del 65%.

En 1611, Johannes Kepler dedujo que la configuración que menos espacio libre deja era, precisamente, la que utilizan los fruteros. Con esta configuración se consigue una densidad del 74%. Y este es el máximo posible aunque Kepler no supo cómo demostrarlo. Aquí nació la conjetura de Kepler.

Casi 400 años más tarde, en 1998, el matemático Thomas Hales escribió al fin una demostración para la conjetura de Kepler. La demostración se hizo esperar ya que el problema es realmente complicado. El principal escollo que hay que superar es el hecho de que hay infinitas maneras de ordenar esferas. En consecuencia, no podemos probar configuraciones una a una para ver cuál es la óptima.

Si consideramos el problema en dos dimensiones. ¿cómo podemos ordenar círculos para que llene la máxima superficie posible? Si pensamos en dos configuraciones posibles,

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Dos posibles configuraciones de círculos llenando una superficie

podemos calcular el espacio vacío que queda dentro del cuadrado en la configuración (a) y en el triángulo en la configuración (b). Es evidente que la segunda configuración es más densa que la primera. De hecho la primera configuración llena el 78.5% mientras que la segunda llena el 90.7% de la superficie. No obstante esto no es una prueba de que sea la configuración más eficiente.

La manera de demostrarlo es mediante los diagramas de Voronoi. Mediante estos diagramas se puede calcular cuál es la configuración óptima calculando la densidad de la correspondiente celda de Voronoi. En el caso (a) la celda de Voronoi es un cuadrado tal y como se muestra en la figura mientras que para la configuración (b) la celda es un hexágono. La densidad de las celdas de Voronoi asegura que la configuración (b) es la que llena más superficie.

El problema en tres dimensiones se complica ya que si el número de configuraciones en dos dimensiones es infinito, si añadimos  una dimensión más el número de configuraciones crece. Pero hoy no vamos a hablar de infinitos grandes e infinitos pequeños.

En tres dimensiones también se pueden utilizar los diagramas de Voronoi. El problema es que la celda de Voronoi de una esfera es un dodecahedro y con esta figura no se puede llenar todo el espacio sin que se solapen. Esto implica que el problema sea más complicado que en dos dimensiones ya que la solución local no corresponde a la solución global.

La configuración óptima de las esferas en tres dimensiones, la configuración del frutero, en lenguaje matemático es lo que se conoce como una red cúbica con las esferas centradas en las caras. La celda de Voronoi correspondiente es un dodecahedro rómbico..

face_centered
La configuración del frutero – cúbica centrada en las caras
rhomboic_dodecahedron
Dodecahedro rómbico

La configuración del frutero llena el 74.05% del espacio que las contiene. Y es el máximo que se puede conseguir. Es decir, más de una cuarta parte del espacio que ocupan las naranjas en el mostrador es, simplemente aire.

Pese a que la complejidad con respecto al caso bidimensional es mucho más elevada se puede seguir la misma filosofía para acabar con la conjetura. La demostración que aportó Hales con la ayuda de su estudiante Samuel Ferguson se basa en descomponer el espacio en regiones de un número finito de tipos y computar la densidad de cada una.3d_pack

Una de las aplicaciones más útiles de las naranjas del frutero tiene que ver con la cristalografía. Los átomos de un sólido tienden a ordenarse y pueden hacerlo de muchas formas distintas. Cuando los átomos forman una estructura ordenada y periódica se les llama cristales. La estructura cristalina proporciona propiedades muy interesantes y de aquí que los cristales sean la base de toda la electrónica que sustenta nuestras vidas. Por lo general los metales son cristales más o menos regulares y los más pesados tienden a crear estructuras de celdas cúbicas centradas en las caras. Es decir, los átomos de los cristales de silicio de tu teléfono móvil se apilan como las naranjas en la frutería de delante de tu casa.

Ya lo sabes, cuando veas naranjas en una frutería no pienses en el zumo que te podrías hacer sino en la maravillosa estructura matemática que conforma.

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[1] Christiane Rousseau. “Kepler’s conjecture on the packing of spheres”, 2011

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